A prímmuzsika prímása (3.)

„Nos, én hiszek abban, hogy a matematikát nemcsak nézni kell, hanem csinálni is ahhoz, hogy valóban megértsük” – vallja Sautoy. Ennek a mondásnak a párja lehetne, hogy a zenét nemcsak hallgatni kell, hanem csinálni is ahhoz, hogy megértsük. Vagy ma már bűn valaminek is a megértése? Az igaz, hogy a megértéshez értelem kell, s ezért talán igazuk van azoknak, akik menekülnek a megértés elől…

Sautoy azon emberek közé tartozik, akik nemcsak egyetlen síkon próbálják megérteni a világot, hanem összefüggéseiben. Ezért, ha matematikáról értekezik, a természetből is felsorol példákat, hogy bebizonyítsa, a matematika életünk velejárója. Ugyanakkor – mivel a zene is a természetes létünk alkotórésze – számtalan zenei példát is megemlít.

Ami különösen figyelemre méltó egy matematikustól, hogy zene és matematika témakörben népszerűsítő előadásokat is tart. „Némelyek azt mondják, a matematika a hideg ész logikája, a zene az érzelmek világa.” Ez az állítás nagy tévedés. Egy vérbeli matematikus nemcsak a végeredményt élvezi egy matematikai megoldásban, hanem magát a megoldás folyamatát, a végeredményhez vezető utat. A zene is hasonló. Senki sem a záróakkordra kíváncsi, hanem a teljes zeneműre. Ahogyan a matematikusnak szüksége van a végeredményre, úgy a zenehallgatónak is fontos a záróakkord, de a legfontosabb az odáig vezető út. Gottfried Leibniz matematikus a XVII. században tudatalatti számgyakorlatnak nevezte a zenét, Rameau pedig zeneszerzőként a matematikát dicsőítette: „Be kell vallanom, hogy csakis a matematika segítségével tehettem tisztán érthetővé a gondolataimat”. Semmiképp sem egy őrült eszmefuttatása kapcsolatot keresni zene és matematika között, mert ez a kapcsolat természetszerűen adott. A ritmus és a hangmagasság grammatikája matematikai alapokon nyugszik.

Sautoy kijelenti, számára az a csodálatos, hogy a zeneszerzők és a matematikusok műveikben gyakran ugyanazokat a szerkezeteket használják. Például Bach Goldberg-variációi a szimmetriával való játék gyöngyszemei. Ezt nem egy fellegekben járó zenész mondja, hanem egy matematikus! Nem az a csodálatos a zenében, hogy nemcsak érzelmeket hordoz, hanem értelmet is? Mennyivel nagyobb szellemi szórakozás felfedezni a rejtett értelmet, mint ha csak egy hangulatot ismételnénk el! A kotta nem mindig csak a zenészek számára készül, azt bárki kezébe veheti, elemezheti a hangjegyek titkos szövetét, szimmetriát, arányokat, összefüggéseket kereshet benne. Nincs nagyobb szellemi élvezet a felfedezésnél. És amikor valaki megtapasztalta a felfedezés csodáját egy zeneműben, az már az alkotót is tisztelni tudja. Hogyan akarjuk mi átélni ezt az érzést, ha csak pillanatnyi hangulatokat várunk a zenétől? Bármennyire is ijesztő, de a zene értéséhez ugyanúgy meg kell tanulnunk az alapokat, mint a matematikában. Ha nem ismerjük a hangjegyeket, az olyan, mint aki nem ismeri a számokat – és folytathatnánk a hasonlatok sorát.

Érdemes felsorolnunk még néhány zenei érdekességet, mellyel Sautoy elkápráztat minket. Mozart szerette a számokat, és szeretett számok által rejtett üzeneteket kódolni zenéjébe. A Figaro házassága című operájában nem véletlenek a következő számok: 5, 10, 20, 30, 36, 43. A számok összege 144, vagyis 12x12. Ez egy számokkal kifejezett ábrázolása akar lenni Figaro és Susanna közelgő egyesülésének. Mozart kapcsolatban állt a szabadkőművesekkel, és nagyon valószínű, hogy az illuminátusokkal is. A Varázsfuvolában, az utolsó operájában rengeteg a hármas szám: hármas ritmus, három nő, három fiú, három templom. Egy elmélet szerint az illuminátusok azért végeztek Mozarttal, mert e műben nyilvánosságra hozta titkaikat. Különösen érdekes Mozartnak és feleségének, Constanze-nak a levelezése. A zeneszerző fura módon írta alá több levelét: 1095060437082. Mit jelenthet ez a számsor? Tény, hogy előfordul benne a 43-as, ami Mozart száma – senki ne kérdezze, hogy miért, talán mert prímszám! A számsort csoportosítva, 10+9+50+60+43+70+82=324, a 324=18x18, vagyis egy négyzetszám, ami Mozart és Constanze szerelmét rejti. Mozart egy levelében úgy írta alá a nevét, mint aki a „számok házának a barátja”, tehát utalt a számsorra.

Egy másik matematikai érdekesség Bach és a számok világa. Ha megszámozzuk a latin ábécé betűit, akkor a B-A-C-H betűk számainak összege 14-et eredményez. Ez a nagy barokk zeneszerző szimbolikus száma. És ha a J. S. betűket is számozzuk (úgy, hogy Bach egy szám alá vette az I és j betűket), akkor 41-et kapunk, ami a 14 fordítottja. Tény, hogy Bach nagyon odafigyelt erre a két számra, mert amikor Mizler nevű tanítványa felkérte, hogy lépjen be az általa alapított Zenei Tudományok Levelező Társaságába, Bach 1747-ig vonakodott belépni, csak azért, hogy ő legyen a tizennegyedik tag. Zenei elemzők kimutatták, hogy Bach zenéjében e két szám mellett még rengeteg számösszefüggés jelenik meg

A Fibonacci-számsor (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 stb.) nem csak egy matematikai játék. A természetben is gyakran előfordul ez az aranymetszés néven ismert összefüggés. Ez a különleges arányosság a zenében is megjelenik. Sautoy Debussy mellett Bartók zenéjét említi példaként. Ami különösen érdekes, hogy a művészek nem tudatosan, hanem ösztönösen alkották műveiket, amelyekben felfedezhető az aranymetszés elve. Bartóknál a zenei részek tagolása – a különböző zenei gondolatok hossza – területén fedezhető fel az aranymetszés.

A zene és matematika kapcsán meg kell említenünk a XX. század szerialista zeneszerzőit, mert ez a típusú zeneszerzés ugyancsak a matematikára alapozódik – hangok, ritmusok és más zenei összetevők meghatározott elv szerinti rendezésével.

A prímszámok egyik különlegesen érdekes előfordulása a természetben a kabócák éle-tében figyelhető meg. Két kabócafaj (Magicicada septendecim és Magicicada tredecim) életciklusa – amint azt a nevükből is kihámozhatjuk – a 13-as és a 17-es prímszámok szerint működik. Ezek a „csodabogarak” csak 13, illetve 17 évenként jelennek meg az erdőben, máskor lárvaként rejtőznek. Mi ebben a különleges? Hogy a két kabócafaj a prímszámú életciklusa következtében nagyon ritkán zavarja egymást, csak (13x17) 221 évente. Akik az evolúcióval magyarázzák ezt az életciklust, azt feltételezik, hogy így elkerülhető a gyakori versengés a fajok között, vagy egy mérgező gombafaj „állíthatta be” ezeket az évszámokat.

Sautoy könyve, A prímszámok zenéje lebilincselő matematikai olvasmány. Ennek hatására támadt az az ötletem, hogy kipróbáljam, hogyan hangzana a prímszámok sora zenére lefordítva. Először a hétfokú skálával próbálkoztam, semmi érdekességre nem lettem figyelmes, de amikor a tizenkét fokú skálára vetítettem rá a prímeket, döbbenten fedeztem föl, hogy a prímszámok négy zenei hangot céloznak meg maguknak: C-E-Fisz-Aisz vagy C-E-Gesz-B.

A 2-es és 3-as számot leszámítva mindig ugyanazoknál a hangoknál jelentkeznek a prímek. Az ilyen elrendezés szerint valami szimmetria is jelentkezik a prímek eloszlásában. A középső oszlopokban (az E és Fisz hangok alatt) találjuk az ikerprímeket, a két szélén pedig (a C és Aisz hangok alatt) nagyon gyakori a számok végződésének a szimmetriája. A C hang alatti számok nagyon gyakran ugyanolyan számjeggyel végződnek, mint az Aisz alattiak (ha van a negyedik oszlopban számjegy). Ötszázig végignézve a sort, ez a mintázat rajzolódik ki a szimmetriát illetően. A számok és hangok kombinációját illetően viszont tízmillióig biztosan a fenti hangokra esnek a prímek. Hálás köszönettel tartozom Fejér Magdolna kolléganőmnek, aki számítógépen elvégezte a hangok és a prímek társítását!

Mitől szép a zene – vagy a matematika? A kis herceghez hasonló a válasz. A zene attól szép, hogy valahol egy szellemi titkot rejt magába. Aki megtalálja, a szellemi élet kútjából iszik.

Szilágyi Mihály